1️⃣ Expansión en modos.

Para un campo escalar real libre, la expansión estándar es:

 

ϕ^(x,t)=∫d3k(2π)312ωk(a^k ei(k⋅x−ωkt)+a^k† e−i(k⋅x−ωkt))

ϕ^​(x,t)=∫(2π)3d3k​2ωk​​1​(a^k​ei(k⋅x−ωk​t)+a^k†​e−i(k⋅x−ωk​t))​

 

donde:

ωk=k2+m2

ωk​=k2+m2​

✔ El campo es hermítico: ϕ^​=ϕ^​†

 

2️⃣ Conmutadores: correctamente definidos

Los operadores de creación y destrucción satisfacen:

 

[a^k,a^k′†]=(2π)3δ(3)(k−k′)

[a^k​,a^k′†​]=(2π)3δ(3)(k−k′)​

 

y todos los demás conmutadores se anulan:

[a^k​,a^k′​]=0,[a^k†​,a^k′†​]=0

✔ También esto está bien (solo estaba repetido con distinta notación).

 

3️⃣ Qué estás haciendo realmente (interpretación)

Con esta expansión estás afirmando algo profundo: k

🔹 Cada modo k es un oscilador armónico cuántico

El campo no es una suma de partículas, sino una suma de grados de libertad armónicos:

• a^k

  a^k​ → baja la amplitud del modo

   

• a^k†

  a^k†​ → la aumenta

   

El vacío se define como:

 

a^k∣0⟩=0∀ k

a^k​∣0⟩=0∀k

 

pero…

👉 el campo no se anula en el vacío
👉 solo se anula su valor esperado

 

4️⃣ Fluctuaciones del vacío (punto clave)

Aunque:

⟨0∣ϕ^(x,t)∣0⟩=0

⟨0∣ϕ^​(x,t)∣0⟩=0

 

tenemos:

⟨0∣ϕ^2(x,t)∣0⟩=∫d3k(2π)3 12ωk

⟨0∣ϕ^​2(x,t)∣0⟩=∫(2π)3d3k​2ωk​1​​

 

Esto:

• diverge (UV)

• es la energía de punto cero

• es la huella matemática de que el vacío no está quieto

Aquí nace:

• Casimir

• renormalización

• cosmología cuántica

• y toda la física del “vacío activo”

 

5️⃣ Conexión con el tejido 🕸️

Lo que dice:

El universo, incluso sin partículas,
es una superposición infinita
de oscilaciones mínimas.

 

O dicho de otro modo:

El vacío no es ausencia,
es actividad sin evento.

 

La partícula es solo:

• Una coherencia local

• Un ritmo que se sostiene
  en ese mar de modos.

 

6️⃣

La definición: qué es exactamente δφ̂

Una perturbación informacional del vacío:

 

δϕ^(x,t)=∫d3k  (f(k,t) a^k+f∗(k,t) a^k†)

δϕ^​(x,t)=∫d3k(f(k,t)a^k​+f∗(k,t)a^k†​)​

 

donde:

•  

  f(k,t)

  f(k,t) es una función c–número

   

• modula selectivamente ciertos modos

• “h.c.” garantiza hermiticidad

✔ Formalmente correcta
✔ Bien definida como operador
✔ Compatible con la expansión modal del campo

 

7️⃣ Condiciones mínimas de consistencia

🔹 Hermiticidad

Se cumple si:

 

δϕ^†=δϕ^⇒f∗(k,t) acompan˜a a a^k†

δϕ^​†=δϕ^​⇒f∗(k,t) acompan˜a a a^k†​

 

Esto es crucial:
👉 el “mensaje” es real como campo, aunque complejo como modulación.

---

🔹 Localidad (no automática)

Tal como está escrita, la perturbación:

• no es local en x

• vive naturalmente en espacio de momentos

f(k,t)

La localidad emerge solo si f(k,t) tiene:

• soporte amplio en k

• o estructura de Fourier compatible

Es decir:

la información se escribe en k-espacio,
la localización es una consecuencia, no un supuesto.

 

8️⃣ ¿Qué estado del campo estamos creando?

Esto es clave.

δϕ^

Aplica δϕ^​ al vacío:

 

δϕ^∣0⟩=∫d3k  f(k,t) a^k∣0⟩+f∗(k,t) a^k†∣0⟩

δϕ^​∣0⟩=∫d3kf(k,t)a^k​∣0⟩+f∗(k,t)a^k†​∣0⟩

 

Pero:

a^k∣0⟩=0

a^k​∣0⟩=0

 

Luego queda:

δϕ^∣0⟩=∫d3k  f∗(k,t) ∣k⟩

δϕ^​∣0⟩=∫d3kf∗(k,t)∣k⟩​

 

👉 Has creado una superposición coherente de estados de una partícula.

No es:

• una partícula puntual

• ni ruido térmico

Es:

información distribuida sobre el vacío

 

9️⃣ Interpretación correcta del término “informacional”

Aquí conviene ser preciso.

f(k,t)

Tu “mensaje” f(k,t) codifica:

• qué modos

• con qué fase

• con qué peso

• en qué evolución temporal

Eso es información en sentido físico estricto:

• distinguible

• transportable

• con coste energético

No es semántica externa.
Es estructura en el espacio de Hilbert.

 

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1️⃣0️⃣ Energía de la perturbación

La energía añadida al vacío es:

 

ΔE=⟨0∣δϕ^ H^ δϕ^∣0⟩∼∫d3k  ωk ∣f(k,t)∣2

ΔE=⟨0∣δϕ^​H^δϕ^​∣0⟩∼∫d3kωk​∣f(k,t)∣2

 

 Resultado importante:

• la información no es gratis

• ωk

  cada modo cuesta ωk​

   

• el contenido informacional está ligado al espectro energético

Esto conecta directamente con:

• límites de Bekenstein

• Landauer

• cosmología cuántica